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Estadística inferencial aplicada

Este texto, dirigido a estudiantes de pregrado que tengan un conocimiento previo acerca de la teoría de probabilidad, recoge la experiencia académica del autor en cursos de pregrado y postgrado en diferentes disciplinas, tales como matemáticas, estadística aplicada, ciencias económicas y ciencias de la salud. Como resultado del continuo procesamiento y análisis estadístico de datos reales en trabajos de tesis o de profundización, el autor incluye una selección de ejemplos y ejercicios de aplicación para hacer más comprensible el abordaje de temas como Distribuciones continuas, Distribuciones muestrales, Estimación de parámetros, Prueba de hipótesis y Regresión lineal simple
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  1. Martín Díaz Rodríguez
    • Martín Díaz Rodríguez

    • Licenciado en Matemáticas y Física, Universidad del Atlántico (Colombia). Magíster en Matemáticas, Universidad del Valle - Universidad del Norte (Colombia). Con más de 32 años de experiencia docente. Profesor de tiempo completo de la Universidad del Norte. 

Indice general

Capítulo 1 Distribuciones continuas 4

1.1 Resumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2 Problemas de aplicación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.3 Distribuciones continuas de interés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.3.1 Distribución Normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.3.2 Propiedades de la distribución normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.3.3 Distribución Gamma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

1.3.4 Distribución t de Student . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

1.3.5 Propiedades de la distribución t de Student . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

1.3.6 Distribución chi-cuadrado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

1.3.7 Propiedades de la distribución chi-cuadrado . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

1.3.8 Distribución F de Fisher . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

1.3.9 Propiedades de la distribución F de Fisher . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

1.3.10 Familia exponencial de distribuciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

1.3.11 Ejemplos: Caso uniparamétrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

1.3.12 Ejemplos: Caso multiparamétrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

1.4 Taller . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

Capítulo 2 Distribuciones muestrales 56

2.1 Resumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

2.2 Parámetros y estadísticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

2.3 Distribuciones muestrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

2.3.1 Definiciones sobre algunas distribuciones muestrales . . . . . . . . . . . . . 63

2.3.2 Distribución de la diferencia de dos

medias muestrales. Muestras independientes . . . . . . . . . . . . . . . . 75

2.3.3 Distribución de la proporción muestral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

2.3.4 Distribución de la diferencia de dos proporciones muestrales . . . . . . . . 83

2.4 Distribuciones para muestras pequeñas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

2.4.1 Media muestral, muestras pequeñas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

2.4.2 Diferencia de dos medias muestrales con

varianzas poblacionales iguales y desconocidas . . . . . . . . . . . . . . . 91

2.4.3 Diferencia de dos medias muestrales con

varianzas poblacionales desiguales y desconocidas . . . . . . . . . . . . . 93

2.4.4 Distribución para la varianza muestral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

2.4.5 Distribución para el cociente de dos varianzas muestrales . . . . . . . . . . 96

2.5 Taller . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

2.6 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

Capítulo 3 Estimación de parámetros 108

3.1 Resumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

3.2 Estimación de parámetros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

3.2.1 Propiedades de un buen estimador puntual . . . . . . . . . . . . . . . . 110

3.3 Métodos de estimación puntual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

3.3.1 Método de máxima verosimilitud (ML) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

3.3.2 Método de los mínimos cuadrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

3.3.3 Estimadores puntuales para los parámetros estudiados . . . . . . . . . . 118

3.4 Método de estimación por intervalo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

3.4.1 Estimación por intervalos para los parámetros estudiados . . . . . . . . 120

3.5 Taller . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

3.6 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

Capítulo 4 Prueba de hipótesis 145

4.1 Resumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

4.2 Prueba de hipótesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

4.3 Prueba de hipótesis para los parámetros estudiados . . . . . . . . . . . . . . . . 154

4.3.1 Prueba de hipótesis para la media en

población normal con varianza conocida . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

4.3.2 Prueba de hipótesis para la media en una

población con varianza desconocida, muestra grande . . . . . . . . . . . 161

4.3.3 Prueba de hipótesis para la diferencia de dos medias en poblaciones

normalmente distribuidas con varianzas conocidas . . . . . . . . . . . . 166

4.3.4 Prueba de hipótesis para la diferencia de dos medias

en poblaciones con varianzas desconocidas, muestras grandes . . . . . . . 168

4.3.5 Prueba de hipótesis para una proporción . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170

4.3.6 Prueba de hipótesis para la proporción en una población finita . . . . . . 172

4.3.7 Prueba de hipótesis para la diferencia

de dos proporciones poblacionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173

4.3.8 Prueba de hipótesis para la media en una

población normal con varianza desconocida, muestra peque ̃na . . . . . . 174

4.3.9 Prueba de hipótesis para la diferencia de dos medias en poblaciones

normalmente distribuidas con varianzas finitas desconocidas, pero iguales,

en muestras pequeñas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177

4.3.10 Prueba de hipótesis para la diferencia de dos medias

en poblacionales con distribuciones normales, varianzas finitas descono-

cidas y desiguales, en muestras pequeñas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179

4.3.11 Prueba de hipótesis para la varianza en

una población con distribución normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181

4.3.12 Prueba de hipótesis para el cociente de dos

varianzas en poblaciones con distribuciones normales . . . . . . . . . . . 181

4.4 Prueba de hipótesis para los parámetros

estudiados, en más de dos poblaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185

4.4.1 Prueba de hipótesis para la igualdad

de más de dos medias en poblaciones normales . . . . . . . . . . . . . . . 185

4.4.2 Prueba de hipótesis para la igualdad

de más de dos varianzas en poblaciones normales . . . . . . . . . . . . . 186

4.5 Prueba de hipótesis con el estadístico chi-cuadrado . . . . . . . . . . . . . . . . . 188

4.5.1 Prueba de hipótesis para la igualdad de proporciones

en dos o más poblacionales (prueba de homogeneidad) . . . . . . . . . . 189

4.6 Prueba de hipótesis sobre la forma de la función

de distribución de una variable en una población . . . . . . . . . . . . . . . . . 195

4.6.1 Prueba de bondad de ajuste a una distribución discreta . . . . . . . . . . 195

4.6.2 Prueba de bondad de ajuste a una distribución continua . . . . . . . . . . 199

4.7 Prueba de independencia

entre dos variables cualitativas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203

4.8 Taller . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212

4.9 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215

Capítulo 5 Regresión Lineal Simple 224

5.1 Resumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224

5.2 Presentación del modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225

5.3 Interpretación de los parámetros

en el modelo de regresión poblacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226

5.4 Supuestos del modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226

5.5 Ecuación de regresión lineal simple estimada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227

5.6 Bondad de ajuste del modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235

5.7 Predicción para un valor

promedio de Y dado un valor x0 de X, μY . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237

5.8 Valor pronosticado de Y

dado un valor específico x0 de X . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238

5.9 Resumen de intervalo de confianza de

100(1 − α) % para los parámetros estudiados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239

5.10 Resumen de pruebas de hipótesis

para los parámetros estudiados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240

5.11 Taller . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242

5.12 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245

Capítulo 6 Solución: problemas de aplicación 251

6.1 Resumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251

6.2 Solución: problema de aplicación 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251

6.3 Solución: problema de aplicación 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264

6.4 Solución: problema de aplicación 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275

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