Vector-valued function and distribution spaces on the torus
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Vector-valued function and distribution spaces on the torus

This book contains part of the results of a research project funded by Colciencias and executed by the research group Grupo de Investigación en Matemáticas Uninorte (Colombia), and contains details of properties, which are satis ed by certain spaces of vector value functions and distributions de ned on the n dimensional torus. In particular, the text addresses an introductory study of the toroidal Besov spaces, which appear in many applications to partial di erential equations with periodic conditions and in harmonic analysis. This work can be very useful for undergraduate and graduate students in Mathematics as well as for researchers interested in the topics mentioned above.
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Contents

Prefacio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  . . . . . . .  vii

Preface  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ix

Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . .  xi

1 Spaces of functions on Rn. .. . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . 1

1.1 The space of test functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2 The space of rapidly decreasing functions. . . . . . . . 4

1.3 The Fourier transform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.4 Continuous embeddings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.5 Sobolev spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2 Spaces of functions on the n-dimensional torus . . . . . . . . . . . . . . . .9

2.1 Quotient spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.2 The n-dimensional torus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.3 Function spaces on Tn and identifications . . . . . . . . . . . . 15

2.4 Lp(Tn, E) spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.5 The space C∞(Tn, E) of test functions on the torus . . . . . . 25

3 Distributions on Tn and Zn . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.1 Toroidal distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.2 Tempered distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3.3 Toroidal Fourier transform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3.4 Convolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

4 Toroidal Besov spaces  . . . . . . . . .  . . . . . . . 51

4.1 Resolution of unity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

4.2 Definition and properties of Bs pq(Tn, E) . . . . . . . . . . . . . 56

4.3 Lifting property . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

4.4 Embeddings in Besov spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

5 Interpolation of toroidal Besov spaces . . . . . . . . . . . . . . . .  79

5.1 Compatible spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

5.2 The K-functional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

5.3 Real interpolation space and properties . . . . . . . . . . . . . 84

5.4 Real interpolation for the spaces Bs pq(Tn, E) . . . . . . . . . . 90

Bibliografy  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

List of symbols  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

Index  . . . . . . . . . . . . . . . . .  . . . . . . . 107

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